知识点一函数奇偶性的性质
1．奇、偶函数代数特征的灵活变通
由f(－x)＝－f(x)，可得f(－x)＋f(x)＝_0_或__-1_(f(x)≠0)；由f(－x)＝f(x)，可得f(－x)－f(x)＝__0__或__1__(f(x)≠0)．在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便．
2．函数奇偶性的重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有_________，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么_____.
思考1：什么函数既是奇函数又是偶函数？
提示：设f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，故－f(x)＝f(x)，所以f(x)＝0，但定义域需关于原点对称．故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为f(x)＝0且其定义域是关于原点对称的非空数集．
思考2：利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？
提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．
(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
知识点二函数奇偶性与单调性的联系
由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性___相同____，而偶函数的图象关于y轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性_____相反____，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用
思考3：设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是__________.
解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，
∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).
