高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学
第八节 空间正多面体
前面几节我们学习了五种正多面体,以及它们在化学中的应用。此节我们将继续对这一内容进行讨论、总结与深化。
何为正多面体,顾名思义,正多面体的每个面应为完全相同的正多边形。对顶点来说,每个顶点也是等价的,即有顶点引出的棱的数目是相同的,相邻棱的夹角也应是一样的。那么三维空间里的正多面体究竟有多少种呢?
【例题1】利用欧拉定理(顶点数-棱边数+面数=2),确定三维空间里的正多面体。
【分析】从两个角度考虑:先看每个面,正多边形可以是几边形呢?我们知道三个正六边形共顶点是构成平面图形的。因此最多只可以是正五边形,当然还有正三角形和正方形;再看顶点,每个顶点至少引出三条棱边,最多也只有五条棱边(六条棱边时每个角应小于60°,不存在这样的正多边形)。因此,每个面是正五边形时,三棱共顶点;正方形时,也只有三棱共顶点(四个正方形共顶点是平面的);正三角形时,可三棱、四棱、五棱共顶点(六个正三角形共顶点也是平面的),当然也可以说,一顶点引出三条棱边时可以为正三角形面、正方形面和正五边形面;一顶点引出四条棱边时只可以为正三角形面;一顶点引出五条棱边时也只可以为正三角形面——共计五种情况,是否各种情况都存在呢?(显然是,各种情况前面均已讨论)我们用欧拉定理来计算。