6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
素养目标·定方向
|
素养目标
|
学法指导
|
|
1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(数学运算)
2．能够利用向量的数量积解决模长、夹角等问题.(数学运算)
|
通过推导数量积的坐标运算及求夹角和模及向量垂直的判断中，加深对数量积的坐标运算的理解，两向量垂直的坐标表示可以与平行的坐标表示进行类比.
|
必备知识·探新知
知识点1 平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
|
数量积
|
两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__
|
|
两个向量垂直
|
a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__
|
[知识解读] 1．公式a·b＝|a||b|cosa，b与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解.
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：
a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．
两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反.
知识点2 平面向量的模与夹角的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有
下表：
|
|
坐标表示
|
|
模
|
|a|2＝__x＋y__或|a|＝____
|
|
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝____
|
|
夹角
|
cosθ＝＝____(a，b为非零向量)
|
[知识解读] 向量的模的坐标运算的实质
向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得＝a＝(x，y)，∴||＝|a|＝，即|a|为点A到原点的距离.同样，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，∴||＝，即平面直角坐标系中任意两点间的距离.由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 平面向量数量积的坐标运算
典例1 (1)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( C )
A．12 B．0
C．－3 D．－11
(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝( C )
A．6 B．5
C．4 D．3
(3)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14，|c|＝5，则向量c的坐标为__(3,4)或(4,3)__.
[解析] (1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3．
(2)由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4．
(3)因为2b＝(a＋2b)－a＝(6,3)－(2，－1)＝(4,4)，所以b＝(2,2).设c＝(x，y)，则由题可知解得或所以c＝(3,4)或c＝(4,3).
