第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
素养目标·定方向
|
素养目标
|
学法指导
|
|
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示.(直观想象)
2．理解共线向量、相等向量的概念.(数学抽象)
3．正确区分向量平行与直线平行.(逻辑推理)
4．能够利用向量知识解决实际问题，培养数学建模能力.(数学建模)
|
1．向量是一个既有大小又有方向的量，学习时可以结合物理中的矢量来学习，同时对比数量来感受要素的差异.
2．向量可以用有向线段来表示，因而必然具备有向线段的三要素：起点、方向、长度.学习向量的有关概念时注意类比有向线段，通过对特殊向量的认识，逐步把握向量的特征.
3．相等向量与共线向量之间有一些特殊关系，要善于对比数量特征加深认识.
|
必备知识·探新知
知识点1 向量的基本概念与表示
1．向量的概念
(1)向量：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量.
(2)数量：只有大小没有__方向__的量称为数量.
2．有向线段
(1)有向线段：具有__方向__的线段叫做有向线段.
(2)表示方法：以A为起点，B为终点的有向线段记作____.
(3)有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作__||__.
(4)有向线段的三要素：__起点__、__方向__、__长度__.
3．向量的表示方法
|
几何表示
|
用__有向线段__来表示向量，有向线段的长度表示向量的__大小__，有向线段的方向表示向量的__方向__.即用有向线段的起点、终点字母表示，如，…
|
|
字母表示
|
用小写字母a，b，c，…表示
|
[知识解读] 用小写字母表示向量，手写时必须加箭头，如：a，b，c.书写用 ， ， .
4．向量的相关概念
|
向量的模
|
向量的大小称为向量的长度(或模)，记作__||__
|
|
零向量
|
长度为0的向量叫做零向量，记作__0__
|
|
单位向量
|
长度等于__1个单位长度__的向量，叫做单位向量
|
知识点2 相等向量与共线向量
1．平行向量：方向__相同或相反__的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，记作__a∥b__；规定：零向量与任意向量 __平行__，即对任意向量a，都有__0∥a__.
2．相等向量：长度__相等__且方向__相同__的向量叫做相等向量，记作a＝b.
3．共线向量：平行向量也叫做共线向量.
[知识解读] 1．理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的.
2．共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上，共线向量(平行向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.共线向量是相等向量的必要条件.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 向量的有关概念
典例1 给出下列命题：
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
③若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；
④在菱形ABCD中，一定有＝.
其中所有正确命题的序号为__③④__.
[分析] 利用向量定义、相等向量、单位向量的定义进行判断.
[解析] 时间不是向量，故①不正确.
两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故②不正确.
单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故③正确.
