习题课 平行与垂直的综合问题
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 平行和垂直关系的证明
典例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.
求证：(1)直线PA∥平面BDE.
(2)平面BDE⊥平面PCD.
[证明] (1)如图，连接OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，
所以O为AC的中点.
又E为PC的中点，所以OE∥PA.
因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
所以直线PA∥平面BDE.
(2)因为OE∥PA，PA⊥PD，
所以OE⊥PD.
因为OP＝OC，E为PC的中点，
所以OE⊥PC.
又PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P，
所以OE⊥平面PCD.
因为OE⊂平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PCD.
[归纳提升] (1)在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行.
(2)对于有关两个平面垂直的证明，一般利用两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，在应用定理解决问题时，经常采取“线线垂直”⇒“线面垂直”⇒“面面垂直”的转化思想进行推理.
【对点练习】? 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1．
求证：(1)AB∥平面A1B1C；
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
[证明] (1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1．
因为AB⊄平面A1B1C，
A1B1⊂平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.
又因为AA1＝AB，
所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B.
因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC.
因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC.
因为AB1⊂平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
