8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
素养目标·定方向
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素养目标
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学法指导
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1．掌握线线垂直的定义，了解常见线线垂直的形式.(数学抽象)
2．会求异面直线所成的角.(数学运算)
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对比平面中线线位置关系，利用基本模型认识异面直线间的垂直关系及其所成的角.
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必备知识·探新知
知识点1 异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线__a′__与__b′__所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)空间两条直线所成角α的取值范围：__0°≤α≤90°__.
知识点2 空间两直线垂直
如果两条异面直线所成的角是__直角__，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作__a⊥b__.
[知识解读] 对异面直线所成的角的认识理解的注意点
(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关.
(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算.
(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 异面直线所成的角
典例1 如图1，P是平面ABC外的一点，PA＝4，BC＝2，D，E分别为PC，AB的中点，且DE＝3．则异面直线PA与BC所成的角的大小为__90°__.
[分析] →→
[解析] 如图2，取AC的中点F，连接DF，EF，在△PAC中，∵D是PC的中点，F是AC的中点，∴DF∥PA.
同理可得EF∥BC.
∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).
在△DEF中，DE＝3，又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，
∴DE2＝DF2＋EF2，
∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.
[归纳提升] 求两异面直线所成的角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
(2)证：证明作出的角就是要求的角；
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
【对点练习】? 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 如图，连接BD1交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.
