5．2 估计总体的数字特征
知识点 平均数与方差、标准差
[填一填]
1．平均数
如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝，叫作这n个数的平均数．
2．样本的方差与标准差
(1)数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述．样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．一般地，设样本的元素为x1，x2，…，xn，样本的平均数为，定义s2＝，s2表示样本方差．
(2)为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出样本方差的算术平方根．s＝，s表示样本的标准差．
(3)计算样本数据x1，x2，…，xn的标准差的算法步骤为：
S1 算出样本数据的平均数.
S2 算出xi－，其中i＝1,2，…，n；
S3 算出xi－的平方，其中i＝1,2，…，n；
S4 算出样本方差；
S5 算出样本标准差．
[答一答]
平均数与标准差在估计总体时有何差异？
提示：平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们对总体作出片面的判断，样本中的极端值对平均数的影响较大，所以平均数有时难以反映样本数据的实际状态．
当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量．标准差反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度．标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散．
(1)从数字特征上描述一组数据的情况
平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差、极差和标准差描述其波动大小，也可以说方差、标准差和极差反映各个数据与其平均数的离散程度．
(2)方差和标准差的运用
一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据波动越大，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原单位相同．
类型一 方差、标准差的计算
【例1】 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
|
学生
|
1号
|
2号
|
3号
|
4号
|
5号
|
|
甲班
|
6
|
7
|
7
|
8
|
7
|
|
乙班
|
6
|
7
|
6
|
7
|
9
|
求以上两组数据的方差及标准差．
【思路探究】 解答本题的关键是掌握方差、标准差的计算公式和求解步骤．
【解】 甲＝＝7，
