7．3 球
知识点 球的表面积与体积
[填一填]
1．球的体积
球的半径为R，那么它的体积是V＝πR3.
2．球的表面积
球的半径为R，那么它的表面积是S＝4πR2.
[答一答]
怎样分析与球有关的组合体问题？
提示：通过画过球心的截面来分析．例如，底面半径为r，高为h的圆锥内部有一球O，且球与圆锥的底面和侧面均相切．过球心O作球的截面，如图所示，则球心是等腰三角形ABC的内切圆的圆心，AB和AC均是圆锥的母线，BC是圆锥底面直径，D是圆锥底面的圆心．
用同样的方法可得以下结论：
①长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；
球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；
球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．
②球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．
③球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
1．球的体积和表面积都是关于半径R的函数，因此求体积和表面积时，只需求出半径即可．
2．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来已知体积或表面积也可以求其半径．
3．球的截面在解决球的有关计算问题中起着关键的作用，要注意球的半径与截面圆半径的关系．
类型一 球的表面积
【例1】 已知：圆柱的底面直径与高都等于球的直径．
求证：(1)球的表面积等于圆柱的侧面积；
(2)球的表面积等于圆柱表面积的.
【证明】 (1)如图，设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，得S球＝4πR2，S圆柱侧＝2πR·2R＝4πR2.
∴S球＝S圆柱侧 .
(2)∵S圆柱表＝4πR2＋2πR2＝6πR2，
S球＝4πR2，∴S球＝S圆柱表 .
规律方法要解决两几何体间的体积(面积)关系，必须首先算出球的体积(表面积)与圆柱的体积(侧面积)，算出球的体积(表面积)与圆柱的体积(侧面积)要知道球的半径，球的半径可设为R.
