第2课时 棱台与圆台的体积
知识点 棱台和圆台的体积
[填一填]
台体(棱台和圆台)的体积公式：V台体＝(S上＋S下＋)h，其中S上、S下分别为台体上、下底面面积，h为台体的高．特别地，圆台的体积公式可以表示为V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2)，其中r、r′分别为圆台的上、下底面的半径，h为圆台的高．
[答一答]
根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？
提示：柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们之间的关系如下：
(1)柱体、锥体、台体之间的关系：
(2)体积公式之间的关系：
1．计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面积和高，要充分运用轴截面，将空间问题转化为平面问题．
2．对于圆台问题，注意“补台为锥”的思想方法．
3．割补法求体积
当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这种方法就称为割补法．
此时应注意分割过程中的等积特点，切不可出现重复和遗漏.
类型一 棱台的体积
【例1】 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积．
【思路探究】 可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积．
【解】
如图所示，正四棱台ABCD
－A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．
由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，
在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5，
OE＝AB＝10，∴O1O＝＝12，
V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3)．
