7．2 柱、锥、台的体积
第1课时 柱体与锥体的体积
知识点一 棱柱和圆柱的体积
[填一填]
柱体(棱柱和圆柱)的体积公式：V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．特别地，圆柱的体积公式可表示为：V圆柱＝Sh＝πr2h，其中r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高．
[答一答]
1．求柱体的体积的关键是什么？
提示：由柱体的体积公式知，柱体的体积仅与它的底面积和高有关．而与是几棱柱，是否为直棱柱无关，故求柱体体积的关键是求底面积和高．
知识点二 棱锥和圆锥的体积
[填一填]
锥体(棱锥和圆锥)的体积公式：V锥体＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．特别地，圆锥的体积公式可表示为：V圆锥＝Sh＝πr2h，其中r为圆锥的底面半径，h为圆锥的高．
[答一答]
2．求三棱锥的体积时有什么技巧？试总结一下．
提示：因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面，寻求底面积与高易求的三棱锥．
1．等积变形法求体积
等积变形法一般用于三棱锥体积的求解，利用三棱锥的体积不论以哪个面作底面其体积不变的特点，常转化为容易计算的方式求解．如图所示，VA－BCD＝S△BCD·h1＝S△ACD·h2＝S△ABC·h3＝S△ABD·h4.
2．有关棱柱直截面的补充知识
在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫作棱柱的直截面，正棱柱的上下底面与其直截面有相同的性质．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：
S棱柱侧＝c直截面l(其中c直截面，l分别为棱柱的直截面周长与侧棱长)，
V棱柱＝S直截面l(其中S直截面，l分别为棱柱的直截面面积与侧棱长)．
类型一 柱体的体积
【例1】 已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm，宽为6 cm的矩形，求该正三棱柱的体积．
【思路探究】 由正三棱柱的侧面展开图是一个矩形，知底面等边三角形的周长可能是9 cm或6 cm，应分情况讨论．
【解】 设正三棱柱的底面等边三角形的边长为a cm，高为h cm.
(1)当正三棱柱的底面周长为9 cm时，则h＝6，且3a＝9，∴a＝3，∴S底面＝×3×3×＝(cm2)，
∴V正三棱柱＝S底面·h＝×6＝(cm3)．
(2)当正三棱柱的底面周长为6 cm时，则h＝9，且3a＝6，∴a＝2，∴S底面＝×2×2×＝(cm2)，
∴V正三棱柱＝S底面·h＝×9＝9(cm3)．
故该正三棱柱的体积为 cm3或9 cm3.
规律方法柱体的体积公式是V＝Sh，求柱体体积的关键是确定柱体的底面积和高．
