1．3.2 球的体积和表面积
[目标] 1.了解球的体积和表面积公式；2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题．
[重点] 球的体积公式和表面积公式及应用．
[难点] 球的切、接问题．
知识点 球的体积和表面积
[填一填]
1．球的体积
球的半径为R，那么它的体积V＝πR3.
2．球的表面积
球的半径为R，那么它的表面积S＝4πR2.
温馨提示：与其他简单几何体不同，球面不可展开．
[答一答]
1．观察球的体积与表面积公式，思考下面的问题．
(1)计算球的表面积与体积，关键需要确定哪个量？
(2)若两球的半径之比为R1R2，那么两球的表面积之比及体积之比分别是多少？
提示：(1)要计算球的表面积和体积，关键是要确定球的半径R.
(2)＝＝＝()2，
＝＝＝()3.
2．用一个平面去截球体，截面是什么平面图形？试在球的轴截面图形中，展示截面图与球体之间的内在联系．
提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如下图所示．若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d.在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2.
类型一 球的体积与表面积的计算
[例1] (1)两个球的体积之比为827，那么这两个球的表面积之比为( )
A．23 B．49
C. D.
(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．
(3)
圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
[解析] (1)两个球的体积之比为827，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为23，从而这两个球的表面积之比为49，故选B.
(2)两个小铁球的体积为2×π×13＝，即大铁球的体积π×R3＝，所以半径为.
(3)设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.
则有πr2·6r＝8πr2＋3·πr3，
即2r＝8，所以r＝4 cm.
[答案] (1)B (2) (3)4
