4.2 直线、圆的位置关系
4．2.1 直线与圆的位置关系
[目标] 1.会用代数方法与几何方法判断直线与圆的位置关系；2.能解决直线与圆相切、相交的有关问题．
[重点] 直线与圆位置关系的判断，直线与圆相切、相交问题的解答．
[难点] 直线与圆位置关系问题的解答．
知识点 直线与圆的位置关系
[填一填]
直线Ax＋By＋C＝0和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
1．几何法：
判定依据：圆心到直线的距离与圆半径进行大小比较．
判定结论：设圆心到直线的距离为d，圆半径为r.
(1)若d>r，则直线与圆相离；
(2)若d＝r，则直线与圆相切；
(3)若d<r，则直线与圆相交．
2．代数法：
判定依据：将直线方程代入圆的方程，消元得关于x(或y)的一元二次方程的判别式Δ.
判定结论：
(1)若Δ>0，则直线与圆相交；
(2)若Δ＝0，则直线与圆相切；
(3)若Δ<0，则直线与圆相离．
[答一答]
1．(1)“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，各有什么优势？
(2)如何选择判断直线与圆的位置关系的方法？
提示：(1)“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系是从不同的方面，不同的思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，结合了图形的几何性质；
(2)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，但较为繁琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，成为判断直线与圆位置关系的常用方法．
2．(1)直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是相交；
(2)过P(－2,0)向圆x2＋y2＝1引切线，则切线长是.
类型一 直线与圆位置关系的判断
[例1] 已知圆的方程是x2＋y2＝1，直线y＝x＋b.当b为何值时，
(1)圆与直线只有一个公共点；
(2)圆与直线有两个公共点；
(3)圆与直线没有公共点．
[分析] 可联立方程组，由方程组解的个数求解，也可求出圆心到直线的距离，与半径比较求解．
[解] 方法1：联立直线和圆的方程组成方程组：整理可得2x2＋2bx＋b2－1＝0，其中Δ＝4(2－b2)．
(1)当Δ＝0，即b＝±时，直线和圆相切，此时直线和圆仅有一个公共点．
(2)当Δ>0，即－<b<时，直线和圆相交，此时直线和圆有两个公共点．
(3)当Δ<0，即b<－或b>时，直线和圆相离，此时直线和圆没有公共点．
方法2：圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线l：y＝x＋b的距离d＝，圆的半径为r＝1.
(1)当d＝＝1，即b＝±时，直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点；
(2)当d＝<1，即－<b<时，直线与圆相交，此时直线与圆有两个公共点；
(3)当d＝>1，即b<－或b>时，直线与圆相离，此时直线与圆没有公共点．
