第四章 圆与方程
4.1 圆的方程
4．1.1 圆的标准方程
[目标] 1.明确圆的基本要素，能用定义推导圆的标准方程；2.会求圆的标准方程，能够判断点与圆的位置关系．
[重点] 求圆的标准方程．
[难点] 圆的标准方程及应用．
知识点一 圆的标准方程
[填一填]
1．圆的定义
(1)条件：平面内到定点的距离等于定长的点的集合．
(2)结论：定点是圆心，定长是半径．
2．圆的标准方程
(1)圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆心在原点，半径长为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
[答一答]
1．若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a吗？圆心坐标是(m，n)吗？
提示：圆的半径不一定是a，当a>0时，半径是a；当a<0时，半径是－a.圆心坐标不是(m，n)，应是(－m，－n)，因为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2化为标准结构是[x－(－m)]2＋[y－(－n)]2＝|a|2.
2．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( × )
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( √ )
(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是2.( × )
知识点二 点与圆的位置关系
[填一填]
设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d＝r；点在圆外⇔d>r.
[答一答]
3．判断点和圆的位置关系的依据是什么？
提示：判断点与圆的位置关系的依据是圆心到该点的距离和圆的半径的大小关系．
4．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是( B )
A.在圆上 B.在圆外
C.在圆内 D.以上都不对
类型一 求圆的标准方程
[例1] 已知圆过两点A(3,1)，B(－1,3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的方程．
[分析]
[解] 方法1：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意，得
即解得
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
方法2：由直线AB的斜率k＝＝－，知线段AB的垂直平分线m的斜率为2，线段AB中点的横坐标和纵坐标分别为x＝＝1，y＝＝2，因此直线m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
又圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心在这两条直线的交点上．联立得方程组解得
设圆心为C，所以圆心的坐标为(2,4)．
又半径r＝|CA|＝，故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
方法3：设圆心为C，因为圆心在直线3x－y－2＝0上，故可设圆心C的坐标为(a,3a－2)．
又因为|CA|＝|CB|，所以
＝，
