3．3 空间两点间的距离公式
知识点 空间两点间的距离
[填一填]
1．用公式计算空间两点的距离
一般地，如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d＝.
2．空间两点间的距离公式
空间中点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离是|P1P2|＝.
[答一答]
1．已知点P(x，y，z)，如果r为定值，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？
提示：由为点P到坐标原点的距离，结合x2＋y2＋z2＝r2知点P到原点的距离为定值|r|，因此r≠0时，x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心，|r|为半径的球面；r＝0时，x2＋y2＋z2＝r2表示坐标原点．
2．平面几何中线段的中点坐标公式可以推广到空间中吗？
提示：可以．空间线段的中点坐标公式可以类比平面中的结论得到：已知空间中两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB的中点P的坐标为(，，)．
空间两点间的距离公式的注意点
(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．
(2)若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．
类型一 空间两点间的距离公式的应用
【例1】 已知点P(1，－1,2)，求：
(1)P到原点O的距离；
(2)P到y轴的距离；
(3)P到平面xOy的距离．
【思路探究】 (1)可直接运用两点间距离公式，(2)(3)中所求距离需要转化为两点间的距离．
【解】 (1)点P(1，－1,2)到原点O的距离为d(O，P)＝＝.
(2)∵点P在y轴上的投影为Py(0，－1,0)，∴P到y轴的距离为d(P，Py)＝＝.
(3)∵点P在平面xOy上的投影为P1(1，－1,0)，
∴P到平面xOy的距离为
d(P，P1)＝＝2.
规律方法一个点到坐标轴的距离等于该点与其在这条坐标轴上的投影间的距离，一个点到坐标平面的距离等于该点与其在这个平面内的投影间的距离．
求以下两点间的距离．
(1)A(1,0，－1)，B(0,1,2)；
(2)A(10，－1,6)，B(4,1,9)．
解：(1)|AB|＝＝.
(2)|AB|＝＝
＝7.
