6.2 利用导数研究函数的性质
6．2.1 导数与函数的单调性
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)
3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
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1.通过利用导数判断函数单调性法则的学习，提升数学抽象素养．
2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算素养.
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图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图像．
问题：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
(1) (2)
导数与函数的单调性的关系
(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数，如图(1)所示；
(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示．
(1) (2)
思考1：如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
[提示] f(x)是常函数．
思考2：在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？
[提示] 充分不必要条件，如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)＝3x2≥0.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．
( )
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． ( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2.函数y＝f(x)的图像如图所示，则( )
A．f′(3)>0
B．f′(3)<0
C．f′(3)＝0
D．f′(3)的正负不确定
B [由图像可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.]
3．已知函数f(x)＝x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．
(1，＋∞) [∵f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，
故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．]
