第2课时 排列数的应用
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解题方法．(重点)
2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)
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1．通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理的素养．
2．借助排列数公式计算，提升数学运算的素养.
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无限制条件的排列问题
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【例1】 (1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
[思路点拨] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．
[解] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．
1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．
2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．
1．(1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，则共有________种不同的分法．
(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种．
(1)720 (2)60 [(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A＝10×9×8＝720.
(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，应有A＝5×4×3＝60种选法．]
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排队问题
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角度一 元素“相邻”与“不相邻”问题
【例2】 3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．
(1)全体站成一排，男、女各站在一起；
(2)全体站成一排，男生必须站在一起；
(3)全体站成一排，男生不能站在一起；
(4)全体站成一排，男、女各不相邻．
[解] (1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法；
女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法；
全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．
由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288种排队方法．
(2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720种排队方法．
(3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法，
故共有A·A＝1 440种排法．
(4)排好男生后让女生插空，
共有A·A＝144种排法．
“相邻”与“不相邻”问题的解决方法
处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
