第3课时 空间向量与空间角
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．会用向量法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)
2．正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点)
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通过利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养．
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空间角的向量求法
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角的分类
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向量求法
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范围
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两异面直线l1与l2所成的角θ
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设l1与l2的方向向量为a，b，则cos θ＝ ＝
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直线l与平面α所成的角θ
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设l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝ ＝
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二面角αlβ的平面角θ
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设平面α，β的法向量为n1，n2，则|cos θ|＝ ＝
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[0，π]
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思考：(1)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？
(2)二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？
[提示] (1)设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则
θ＝
(2)
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条件
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平面α，β的法向量分别为u，υ，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，υ〉＝φ，
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图形
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关系
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θ＝φ
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θ＝π－φ
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计算
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cos θ＝cos φ
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cos θ＝－cos φ
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1．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是( )
A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定
A [A1B1⊥平面BCC1B1，
故A1B1⊥MN，
则·＝(＋)·＝·＋·＝0，
∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°．]
2．已知二面角αlβ等于θ，异面直线a，b满足a⊂α，b⊂β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成的角等于( )
A．θ B．π－θ
C．－θ D．θ或π－θ
D [应考虑0≤θ≤与＜θ≤π两种情况．]
3．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
B [设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°，应选B．]
4．正方体ABCDA′B′C′D′中，M，N分别是棱BB′和B′C′的中点，则异面直线MN与AD所成角的大小为________．
