3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行关系
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点)
2．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)
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1．通过平面法向量的学习，培养学生数学运算的核心素养．
2．借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养．
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1．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量的定义
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．
(2)平面的法向量的定义
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．
思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？
[提示] 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量．
2．空间中平行关系的向量表示
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线线平行
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设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇒a∥b⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)
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线面平行
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设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
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面面平行
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设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)
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1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
A [＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．]
2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
D [∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．]
3．已知u，v分别是平面α，β的法向量，则下列条件能使α与β垂直的是( )
A．u＝(－2,2,5)，v＝(6，－4,4)
B．u＝(1,2，－2)，v＝(－2，－4,4)
C．u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)
D．u＝(－2,1,4)，v＝(6,3,3)
A [对于A，因为u·v＝0，∴u⊥v，∴α⊥β．
对于B，u∥v，∴α∥β或α与β重合．
对于C，u与v不垂直，也不平行，∴α与β相交．
对于D，u与v不垂直，也不平行，∴α与β相交，故选A．]
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
l⊂α或l∥α [∵μ·a＝－12＋16－4＝0，
∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α．]
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利用方向向量和法向量判定线线、线面、面面的位置关系
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【例1】 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)不重合的直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；
(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；
(3)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1,2)，v＝；
(4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2，1)；
(5)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0,2，－3)．
[解] (1)∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
∴a＝－b，∴a∥b，即l1∥l2．
(2)∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)，∴a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面．
