3.1.5 空间向量运算的坐标表示
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)
2．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点)
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1．通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养．
2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养．
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1．空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
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运算
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坐标表示
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加法
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a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
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减法
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a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
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数乘
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λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
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数量积
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a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
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2．空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
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平行(a∥b)
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a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔
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垂直(a⊥b)
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a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)
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模
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|a|＝＝
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夹角公式
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cos〈a，b〉＝＝
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思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a∥b一定有＝＝成立吗？
[提示] 当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立．
3．向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；
(2)dAB＝||＝．
1．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，则4a＋2b等于( )
A．(10，－18，－18) B．(－10,18,18)
C．(－14，－2,22) D．(－14,2，－22)
B [∵4a＝(－12,8,20)，2b＝(2,10，－2)，
∴4a＋2b＝(－10,18,18)．]
2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝( )
A．1 B． C． D．
D [ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·
(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝．]
3．若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则m＋n＝________．
－3 [＝(3，－1,1)，＝(m＋1，n－2，－2)．
∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ．
即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，
∴解得λ＝－2，m＝－7，n＝4．
∴m＋n＝－3．]
4．已知a＝(－，2，)，b＝(3，6,0)，则|a|＝________，
a与b夹角的余弦值等于________．
3 [|a|＝＝＝3，
cos〈a，b〉＝＝＝．]
