第3章 导数及其应用
第二课 导数在研究函数中的应用
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
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函数的单调性与导数
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【例1】 已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x，讨论f(x)的单调性．
[思路点拨] ―→―→
[解] f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－.
①当a≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝.
又由f′(x)>0得0<x<，
由f′(x)<0得x>，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
导数法求函数单调区间的一般流程
求定义域→求导数f′(x)→求f′(x)＝0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f′(x)在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性.
提醒：在求解中注意分类讨论和数形结合思想的应用.
1．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R，试求f(x)的单调区间．
[解] ∵f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2.
①当－2a＝a－2，即a＝时，f′(x)≥0，∴f(x)在R上单调递增．
②当－2a<a－2，即a>时，
由f′(x)>0得，x<－2a或x>a－2，
由f′(x)<0得，－2a<x<a－2.
∴f(x)在(－∞，－2a)及(a－2，＋∞)上为增函数，
在(－2a，a－2)上为减函数．
③当－2a>a－2，即a<时，
由f′(x)>0得x<a－2或x>－2a，
由f′(x)<0得a－2<x<－2a.
∴f(x)在(－∞，a－2)及(－2a，＋∞)上为增函数，在(a－2，－2a)上为减函数．
综上所述，当a<时，f(x)的增区间为(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)；减区间为(a－2，－2a)．
当a＝时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)．
当a>时，f(x)的增区间为(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)；减区间为(－2a，a－2)．
