3.3.2 函数的极值与导数
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．了解极值的概念，理解极值与导数的关系．(难点)
2．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)
3．会根据函数的极值求参数的值．(难点)
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1．通过学习极值的概念，培养学生数学抽象与直观想象的素养．
2．借助极值的求法，提升逻辑推理与数学运算的素养.
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1．极值点与极值的概念
(1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
思考：区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？
[提示] 不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．
2．极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为极值点．
(2)极大值与极小值统称为极值．
3．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
1．函数y＝x3＋1的极大值是( )
A．1 B．0
C．2 D．不存在
D [y′＝3x2≥0，则函数y＝x3＋1在R上是增函数，不存在极大值．]
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
C [当f′(x)的符号由正变负时，f(x)有极大值，当f′(x)的符号由负变正时，f(x)有极小值．由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点．]
3．下列说法不正确的是( )
A．函数y＝x2有极小值
B．函数y＝sin x有无数个极值
C．函数y＝2x没有极值
D．x＝0是函数y＝x3的极值点
D [∵y＝x3，∴y′＝3x2≥0，∴y＝x3无极值．(或者直接观察图象可知A，B，C正确，D错误)]
