第一课 圆锥曲线与方程
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
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圆锥曲线的定义及标准方程
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【例1】 (1)已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为Q，A，则|PA|＋|PQ|的最小值是( )
A． B．
C． D．10
(2)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
(1)C (2)3 [(1)抛物线的准线方程为y＝－.设抛物线的焦点为F，则F.根据抛物线的定义可得|PQ|＝|PF|－，所以|PA|＋|PQ|＝|PF|＋|PA|－.
所以|PA|＋|PQ|的最小值为|FA|－＝.
(2)如图，设椭圆的右焦点为E，连接AE，BE.由椭圆的定义得，△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.∵|AE|＋|BE|≥|AB|，∴|AB|－|AE|－|BE|≤0，∴|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a.当直线AB过点E时取等号，此时直线x＝m＝c＝1，把x＝1代入椭圆＋＝1得y＝±，∴|AB|＝3.∴当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是×3×|EF|＝×3×2＝3.]
“回归定义”解题的三点应用
应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．
1．(1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．以上都不对
(2)若双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，|F1F2|＝10，P为双曲线上一点，|PF1|＝2|PF2|，PF1⊥PF2，求此双曲线的方程．
(1)C [(1)把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．]
(2)[解] ∵|F1F2|＝10，∴2c＝10，c＝5.
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，且|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.
在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴4a2＋16a2＝100.∴a2＝5.
则b2＝c2－a2＝20.
故所求的双曲线方程为－＝1.
