2.3.2 抛物线的简单几何性质
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.掌握抛物线的几何性质．(重点)
2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)
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1.借助直线与抛物线的位置关系，培养学生的直观想象和数学运算的素养.
2.借助抛物线的几何性质解题，提升逻辑推理的素养.
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1．抛物线的几何性质
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标准方程
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y2＝2px(p＞0)
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y2＝－2px(p＞0)
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x2＝2py(p＞0)
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x2＝－2py (p＞0)
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图形
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性质
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焦点
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准线
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x＝－
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x＝
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y＝－
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y＝
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范围
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x≥0，y∈R
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x≤0，y∈R
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y≥0，x∈R
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y≤0，x∈R
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性质
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对称轴
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x轴
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y轴
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顶点
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(0,0)
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离心率
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e＝1
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2.焦点弦
直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p.
3．直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．
思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
C [由准线方程为x＝－2，可知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p＝4，所以抛物线的方程为y2＝2px＝8x.]
2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝( )
A．10 B．8
C．6 D．4
B [|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
3．直线y＝2x－1与抛物线x2＝y的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
C [由得2x2－2x＋1＝0，即Δ＝4－8<0，
∴y＝2x－1与x2＝y无交点，故选C．]
