2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)
2．掌握两点分布、二项分布的均值．(重点)
3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)
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1．通过离散型随机变量的均值的学习，体会数学抽象的素养．
2．应用随机变量的均值解题提升数学运算的素养.
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1．离散型随机变量的均值
(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：
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X
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x1
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x2
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…
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xi
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…
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xn
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P
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p1
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p2
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…
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pi
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…
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pn
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则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
2．两点分布和二项分布的均值
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
思考：随机变量的均值与样本平均值有什么关系？
[提示] 随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．
1．若随机变量X的分布列为
则E(X)＝( )
A．0 B．－1
C．－ D．－
C [E(X)＝ipi＝(－1)×＋0×＋1×＝－.]
2．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.
35 [E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.]
3．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________．
[E(X)＝np＝4×＝.]
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求离散型随机变量的均值
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【例1】 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．
[解] X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
所以李明一年内参加考试次数X的分布列为
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X
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1
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2
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3
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4
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P
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0.6
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0.28
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0.096
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0.024
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所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
