§7 向量应用举例
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离．(重点)
2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．(难点)
3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．
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1.通过学习直线法向量的概念、点到直线的距离，培养数学抽象素养．
2.通过用向量方法解决一些实际问题，提升数学建模素养．
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向量应用举例
(1)点到直线的距离公式
若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为：d＝．
(2)直线的法向量
①定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．
②公式：设直线l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．
(3)向量的应用
向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．
思考：向量的数量积与功有什么联系？
[提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．
1．直线2x－y＋1＝0的一个法向量是( )
A．(2，1) B．(－1，－2)
C．(1，2) D．(2，－1)
[答案] D
2．若向量OF1＝(1，1)，OF2＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(5，0) B．(－5，0)
C． D．－
[答案] C
3．点P0(－1，2)到直线l：2x＋y－10＝0的距离为________．
[答案] 2
4．已知F＝(2，3)作用一物体，使物体从A(2，0)移动到B(4，0)，则力F对物体作的功为________．
[答案] 4
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平面几何中的垂直问题
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【例1】 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
[证明] 法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0.
又＝＋＝－a＋，
＝＋＝b＋，
所以·＝·
＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
