§6 平面向量数量积的坐标表示
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.掌握数量积的坐标表达式．(重点)
2.能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．(重点)
3.了解直线的方向向量的概念．(难点)
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1.通过学习直线方向向量的概念及数量积的坐标表示，体会数学抽象素养．
2.通过求解两向量的夹角及判断两向量的垂直关系，提升数学运算素养．
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1．平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)a2＝x21＋y21，即|a|＝\s\up1(21；
(3)设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝x eq \o\al(\s\up1(21；
(4)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．
思考1：垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？
[提示] 能．a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0.
2．直线的方向向量
给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．
思考2：直线的方向向量唯一吗？
[提示] 不唯一．因为与直线l共线的非零向量有无数个，所以直线l的方向向量也有无数个．
1．已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
C [因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.]
2．已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝________．
2 [由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2.]
3．已知向量a＝(4，－1)，b＝(x，3)，若|a|＝|b|，则x＝________.
±2 [由|a|＝|b|得＝，解得x＝±2.]
4．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为________．
[设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.]
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平面向量数量积的坐标运算
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【例1】 已知向量a和b同向，b＝(1，2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
[解] (1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0).
∵a·b＝10，∴λ·cos 0°＝10，
解得λ＝2.∴a＝(2，4).
(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.
