§5 从力做的功到向量的数量积
|
学 习 目 标
|
核 心 素 养
|
|
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)
2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系．
3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)
|
1.通过学习平面向量数量积的含义及其物理意义，体会数学抽象素养．
2.通过运用数量积的运算性质及运算律解决长度、夹角、平行、垂直的问题，提升数学运算素养．
|
1．向量的夹角
|
定义
|
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角
|
|
范围
|
0°≤θ≤180°
|
|
特例
|
θ＝0°
|
a与b同向
|
|
θ＝180°
|
a与b反向
|
|
θ＝90°
|
a与b垂直，记作a⊥b，规定0可与任一向量垂直
|
思考1：△ABC为正三角形，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角是多少？
[提示] 如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则＝a，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量a与b的夹角为120°.
2．向量的数量积
(1)射影
|b|cos_θ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影).
(2)数量积
已知两个非零向量a与b，我们把|a||b|cos_θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ，其中θ是a与b的夹角．
(3)规定
零向量与任一向量的数量积为0．
(4)几何意义
a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos_θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积．
(5)性质
①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ.
②若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b⇔a·b＝0．
③|a|＝＝.
④cos θ＝(|a||b|≠0).
⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．
(6)运算律
已知向量a，b，c与实数λ，则：
①交换律：a·b＝b·a；
②结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
思考2：向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？
[提示] 如图所示，＝a，＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ.
|b|cos θ叫作向量b在a方向上的射影，|a|cos θ叫作向量a在b方向上的射影．
