§4 平面向量的坐标
4.1 平面向量的坐标表示
4.2 平面向量线性运算的坐标表示
4.3 向量平行的坐标表示
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)
2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(重点)
3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)
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1.通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，提升数学抽象素养．
2.通过用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，培养数学运算素养．
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1．平面向量的坐标表示
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj．我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y).
思考1：相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？
[提示] 由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．
2．平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示
(1)平面向量的坐标运算
①已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么：
(ⅰ)a＋b＝(x1，y1)＋(x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)；
(ⅱ)a－b＝(x1，y1)－(x2，y2)＝(x1－x2，y1－y2)；
(ⅲ)λa＝λ(x1，y1)＝(λx1，λy1)．
②已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O(0，0)，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
(2)向量平行的坐标表示
①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则x1y2－x2y1＝0．
若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝．
②文字语言描述向量平行的坐标表示
(ⅰ)定理 若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例．
(ⅱ)定理 若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．
思考2：如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？
[提示] 能．将b写成λa的形式，当λ>0时，b与a同向，当λ<0时，b与a反向．
1．若A(2，－1)，B(－1，3)，则的坐标是( )
A．(1，2) B．(－1，－2)
C．(－3，4) D．(3，－4)
[答案] C
2．若向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，则a－b的坐标为( )
A．(1，5) B．(1，1) C．(3，1) D．(3，5)
[答案] C
3．已知向量a＝(2，－3)，b＝(3，λ)，且a∥b，则λ＝_____．
[答案] －
4．已知A(1，2)，B(4，5)，若＝2，则点P的坐标为________．
(3，4) [设P(x，y)，则＝(x－1，y－2)，＝(4－x，5－y)，又＝2，
所以(x－1，y－2)＝2(4－x，5－y)，
即所以
所以点P的坐标为(3，4).]
