3.2 平面向量基本定理
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解平面向量基本定理及其意义．(重点)
2.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(难点)
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1.通过学习平面向量基本定理，提升数学抽象素养．
2.通过平面向量基本定理解决实际问题，培养直观想象素养．
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平面向量基本定理
如果e1，e2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如图②所示)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
思考：若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？
[提示] 由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2.
∵e1与e2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，
∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.
1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )
A.e1，e2 B．e1＋e2，3e1＋3e2
C．e1，5e2 D．e1，e1＋e2
[答案] B
2．设O为平行四边形ABCD的对称中心，＝4e1，＝6e2，则2e1－3e2等于( )
A． B．
C． D．
B [如图，＝＝(－)＝2e1－3e2.]
3．已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________．
3 [由原式可得
解得
所以x－y＝3.]
4．已知向量a与b不共线，且＝a＋4b，＝－a＋9b，＝3a－b，则共线的三点为________．
A，B，D [＝＋＝－a＋9b＋3a－b＝2a＋8b，因为＝a＋4b，所以＝，所以A，B，D三点共线．]
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对向量基底的理解
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【例1】 设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与，
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
B [①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．
由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．]
