§3 从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.理解向量的数乘运算及其几何意义．(重点)
2.理解向量共线定理，并应用其解决相关问题．(难点)
3.会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行．(易混点)
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1.通过学习数乘运算及其几何意义，体会数学抽象素养．
2.通过运用向量共线定理解决相关问题，培养数学运算素养．
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1．数乘向量及运算律
(1)向量数乘的定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．
(2)向量数乘的运算律
设a，b为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足：
①结合律：λ(μa)＝(λμ)a；
②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb．
思考1：向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？
[提示] 3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同．
－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反．
2．共线向量定理
(1)判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
(2)性质定理
若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa．
思考2：若b＝2a，b与a共线吗？
[提示] 根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线．
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向
量；反之，如果b与a(a≠0)共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
1．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．梯形 D．矩形
C [因为＝－，
所以AB∥CD，且AB＝CD，
所以四边形ABCD为梯形．]
2．下列各式计算正确的有( )
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [①③④正确．]
3．已知向量a与b不共线，向量c＝3a－b，d＝6a－2b，则向量c与d的关系是________．(填“共线”或“不共线”)
共线 [d＝6a－2b＝2(3a－b)＝2c，
所以向量c与d共线．]
4.＝________．
2b－a [
＝(2a＋8b)－(4a－2b)
＝a＋b－a＋b＝2b－a.]
