2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法
2.5.2 向量在物理中的应用举例
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点)
2.体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．(重点)
3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点)
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1.通过用向量方法解决几何问题，提升学生的数学运算和直观想象素养.
2.通过用向量方法解决物理问题，提升学生的数学抽象、数学建模素养.
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1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．
1．已知平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为( )
A．菱形 B．梯形 C．矩形 D．平行四边形
D [由条件知＋＝＋，则－＝－，即＝，∴四边形ABCD为平行四边形．]
2．已知△ABC中，＝a，＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
A [由条件知∠BAC为钝角，所以△ABC为钝角三角形．]
3．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________J.
300 [W＝F·s＝6×100×cos 60°＝300(J)．]
4．已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)的合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为________．
(－5,1) [由F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－(F1＋F2)，
∵F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，∴F1＋F2＝(5，－1)，即F3＝(－5,1)．]
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向量在平面几何中的应用
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[探究问题]
1．用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD?
提示：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③证明·的值为0；④给出几何结论AB⊥CD.
法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，再计算·的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD.
2．用向量法如何证明平面几何中AB∥CD?
提示：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③寻找实数λ，使＝λ，即∥；④给出几何结论AB∥CD.
法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．利用向量共线的坐标关系x1y2－x2y1＝0得到∥，再给出几何结论AB∥CD.
以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有∥得到AB∥CD.
