2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)
2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．(难点)
3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)
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1.通过平面向量数量积的坐标表示，培养学生的数学运算素养.
2.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升学生逻辑推理和数学运算素养.
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1．平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
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数量积
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a·b＝x1x2＋y1y2
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向量垂直
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a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
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2.向量模的公式
设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
3．两点间的距离公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
4．向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，则
cos θ＝＝.
思考：已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
[提示] 设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．
易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，
所以与a垂直的单位向量b0的坐标为
±，其中正、负号表示不同的方向．
1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于( )
A．3 B．－3
C. D．－
A [a·b＝－x＋6＝3，x＝3，故选A.]
2．已知a＝(2，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝________，|a＋b|＝________.
1 2 [a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4,2)，|a＋b|＝＝2.]
3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝______.
[因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，
解得m＝.]
4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________．
[因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13，
所以a与b夹角的余弦值为＝＝.]
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平面向量数量积的坐标运算
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【例1】 (1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
(2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
①求a的坐标；
②若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
