2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解平面向量数量积的物理背景.
2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. (重点)
3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．(难点)
4. 向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)
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1.通过学习平面向量数量积的学习，培养学生的数学抽象素养.
2.通过数量积的应用，提升学生的数学运算素养.
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1．平面向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.特别地，零向量与任一向量的数量积等于0.
思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？
[提示] 数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念：
①b在a的方向上的投影为|b|cos θ；
②a在b的方向上的投影为|a|cos θ.
(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
思考：投影一定是正数吗？
[提示] 投影可正、可负也可以为零．
3．向量数量积的性质
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垂直向量
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a·b＝0
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平行向量
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同向
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a·b＝|a||b|
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反向
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a·b＝－|a||b|
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向量的模
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a·a＝|a|2或|a|＝
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求夹角
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cos θ＝
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不等关系
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a·b≤|a||b|
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4.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
思考：a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？
[提示] (a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
1．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝( )
A. B.
C．1 D．－
A [a·b＝1×1×cos 60°＝.]
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A. B.
C. D.
C [由条件可知，cos θ＝＝＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝.]
3．已知单位向量a，b夹角为，则|a－b|＝________.
1 [单位向量a，b夹角为，则|a－b|＝＝＝1.]
4．己知|a|＝1，(a＋b)⊥a ，则a·b＝________.
－1 [|a|＝1，(a＋b)⊥a，可得：a2＋a·b＝0，∴a·b＝－1.]
