2.3.4 平面向量共线的坐标表示
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.理解用坐标表示两向量共线的条件．(难点)
2.能根据平面向量的坐标判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．(重点)
3.两直线平行与两向量共线的判定．(易混点)
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通过平面向量共线的坐标表示及应用，培养学生、逻辑推理和数学运算素养.
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平面向量共线的坐标表示
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb.
(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线．
思考：两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成＝吗？
[提示] 不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．
1．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是( )
A．(2,1) B．(－6，－3) C．(－1,2) D．(－4，－8)
D [＝(1,2)，根据平行条件知选D.]
2．下列各对向量中，共线的是( )
A．a＝(2,3)，b＝(3，－2)
B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)
C．a＝(，－1)，b＝(1，)
D．a＝(1，)，b＝(，2)
D [A，B，C中各对向量都不共线，D中b＝a，两个向量共线．]
3．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________.
－4 [∵a∥b，∴＝，解得y＝－4.]
4．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝________.
－9 [＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，∵A，B，C三点共线，即∥，∴－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9.]
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向量共线的判定与证明
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【例1】 (1)下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
(2)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
思路点拨：(1)利用“纵横交错积相减”判断．
(2)→→
(1)D [A中，－2×6－3×4≠0，B中3×3－2×2≠0，C中1×14－(－2)×7≠0，D中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D.]
(2)[解] ∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，
＝(2－1,7－5)＝(1,2)．
又2×2－4×1＝0，∴∥.
又＝(2,6)，＝(2,4)，∴2×4－2×6≠0，
∴A，B，C不共线，
∴AB与CD不重合，
∴AB∥CD.
