2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(难点)
2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点)
3.向量的坐标与平面内的点的坐标的区别与联系．(易混点)
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1.通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升学生的数学建模和数学抽象素养.
2.通过向量坐标运算，培养学生的数学运算素养.
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1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
(2)平面向量的坐标表示：
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
2．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
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文字描述
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符号表示
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加法
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两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
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a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
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减法
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两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
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a－b＝(x1－x2，y1－y2)
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数乘
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实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
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λa＝(λx1，λy1)
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重要结论
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一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
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已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
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思考：向量是可以平行移动的，那么它的坐标与位置有关吗？
[提示] 向量的坐标只与起点和终点的相对位置有关，是终点坐标减去起点坐标，而与它们的具体位置没有关系．
1．已知M(2,3)，N(3,1)，则的坐标是( )
A．(2，－1) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(1，－2)
B [＝(2,3)－(3,1)＝(2－3,3－1)＝(－1,2)．]
2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是( )
A．(－4,2) B．(－4，－2)
C．(4,2) D．(4，－2)
D [3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．]
3．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．
(，) [由题意知
a＝(2cos 45°i,2sin 45°j)
＝(i，j)
＝(，)．]
4．已知A(3，－5)，B(－1,3)，点C在线段AB上，且＝3，则点C的坐标是________．
(0,1) [由＝3得－＝3－3，∴4＝＋3，
即＝＋，
∴C的坐标为(3，－5)＋(－1,3)＝(0,1)．]
