2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
|
学 习 目 标
|
核 心 素 养
|
|
1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(重点)
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点)
3.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．(难点)
4.理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点)
|
1.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，发展学生数学抽象和数学运算素养.
2.通过向量共线判断的学习，培养了学生逻辑推理素养.
|
1．向量的数乘运算
(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
①λ(μ a)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb；
特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；
λ(a－b)＝λa－λb.
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？
[提示] 定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.
3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.
1．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是( )
A．b＝2a B．b＝－2a
C．a＝2b D．a＝－2b
A [因a，b方向相同，故b＝2a.]
2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )
A.＝3 B.＝2
C.＝ D.＝2
D [由题意可知：＝－3；＝－2＝2.故只有D正确．]
3．化简：2(3a＋4b)－8a＝________.
－2a＋8b [原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b.]
4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
2 [由向量加法的平行四边形法则知＋＝.
又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO，
∴＝2，∴＋＝2，
∴λ＝2.]
