第2章 解析几何初步
第3课 圆的方程与空间直角坐标系
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
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求圆的方程
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【例1】 有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．
[解] 法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为C，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上，
得解得
∴所求圆的方程为：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
法二：设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA方程为y－6＝－(x－3)，
即3x＋4y－33＝0.
又kAB＝＝－2，∴kBP＝，
∴直线BP的方程为x－2y－1＝0.
解方程组得
∴P(7,3)，∴圆心为AP中心，
半径为|AC|＝，
∴所求圆的方程为(x－5)2＋2＝.
求圆的方程主要是利用圆系方程、圆的标准方程和一般方程关系，利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
(1)选择圆的方程的某一形式；
(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；
(3)解出a，b，r(或D，E，F)；(4)代入圆的方程.
1．已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x－y－1＝0相切，求圆的方程．
[解] 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
∵圆心在直线y＝－2x上，∴b＝－2a，
即圆心为(a，－2a)．
又圆与直线x－y－1＝0相切，且过点(2，－1)，
∴＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，
即(3a－1)2＝2(2－a)2＋2(－1＋2a)2，
解得a＝1或a＝9.
∴a＝1，b＝－2，r＝或a＝9，b＝－18，r＝，
故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，
或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.
