第2章 解析几何初步
第2课 直线方程
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
|
|
直线的倾斜角与斜率
|
【例1】 已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
[解] 根据题中的条件可画出图形，如图所示，由已知得直线PA的斜率kPA＝－，直线PB的斜率kPB＝，结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为，当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是.综上可知，直线l的斜率的取值范围是∪.
1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式
k＝(x1≠x2)求解．
3．涉及直线与线段有交点问题，常用数形结合利用公式求解．
1．直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
[解] 设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率．
由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，
所以k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0.
由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；由k2<0知，直线l2的倾斜角为钝角；由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°.
|
|
直线方程的五种形式
|
【例2】 (1)已知直线的倾斜角为45°，在y轴上的截距为2，则此直线方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝－x＋2 D．y＝－x－2
(2)经过点M(2,1)，且过直线l1：2x＋3y－6＝0与l2：x－2y＋4＝0的交点的直线l的一般式方程为________．
(1)A (2)x＋2y－4＝0 [(1)∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率k＝tan 45°＝1，由斜截式可得直线方程为y＝x＋2.
(2)由得两条直线的交点为(0,2)．根据直线的两点式方程＝，可得直线l的一般式方程为x＋2y－4＝0.]
直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论.求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式、斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线.因此，要注意运用分类讨论的思想.
