3．3 空间两点间的距离公式
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.会推导和应用长方体对角线长公式．(重点)
2.会推导空间两点间的距离公式．(重点)
3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．(难点)
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1.通过推导长方体对角线公式及空间两点间的距离公式提升逻辑推理素养.
2.通过用两点间的距离公式解简单的问题培养数学运算素养.
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1．长方体的对角线
(1)连线长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线．(如图)
(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d＝.
2．空间两点间的距离公式
(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离
|OP|＝.
(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离
|AB|＝.
思考：空间两点间的距离公式与平面两间点的距离公式的区别与联系？
提示：平面两点间的距离公式是空间两点间的距离公式的特例：①在平面直角坐标系xOy中，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝；②在x轴上的两点A，B对应的实数分别是x1，x2，则|AB|＝|x2－x1|.
1．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1,6)的距离是( )
A．2 B．2 C．9 D.
D [|AB|＝＝.]
2．在空间直角坐标系中，设A(1,2，a)，B(2,3,4)，若|AB|＝，则实数a的值是( )
A．3或5 B．－3或－5
C．3或－5 D．－3或5
A [由题意得|AB|＝＝，解得a＝3或5，故选A.]
3．已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．
(0,0,6) [设点P(0,0，z)，
则由|PA|＝|PB|，
得
＝，
解得z＝6，即点P的坐标是(0,0,6)．]
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求空间两点间的距离
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【例1】 已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)．
(1)求△ABC中最短边的边长；
(2)求AC边上中线的长度．
[解] (1)由空间两点间距离公式得
|AB|＝＝3，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
∴△ABC中最短边是|BC|，其长度为.
(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为，
∴AC边上中线的长度为
＝.
