2．3 直线与圆、圆与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.理解并掌握直线与圆的位置关系：相切、相交、相离．(重点)
2.会用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系．(难点)
3.会求简单的弦长及圆的切线方程等问题．(重点)
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1.通过学习几何法、代数法判断直线与圆的位置关系培养直观想象素养.
2.通过求简单的弦长及圆的切线方程等问题提升数学运算素养.
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直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断方法：
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位置关系
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图示
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几何法
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代数法
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相离
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d>r
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Δ<0
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相切
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d＝r
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Δ＝0
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相交
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d<r
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Δ>0
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其中Δ是由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程的判别式．
思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
提示：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面、不同的思路来判断的．“几何法”侧重于“形”，很好地结合了图形的几何性质；“代数法”侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交
D [圆心为(1，－1)，圆心距d＝＝＜3＝r，所以直线与圆相交．]
2．当直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离时，a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(3，＋∞) [圆x2＋(y－1)2＝2的圆心为(0,1)，半径为r＝，圆心(0,1)到直线x＋y－a＝0的距离d＝，依题意，>，解得a<－1或a>3.]
3．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________.
2 [d＝＝，
所以|AB|＝2＝2＝2.]
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直线与圆位置关系的判断
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【例1】 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点．
[解] 法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ<0时，即－<m<0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝.
当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d>2时，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
