2.2 圆的一般方程
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.掌握圆的一般方程．(重点)
2.了解二元二次方程表示圆的条件．(难点)
3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程．(难点)
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1.通过学习圆的一般方程及二元二次方程表示圆的条件提升数学抽象素养.
2.通过求圆的一般方程及与圆有关动点的轨迹方程，培养数学运算素养.
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圆的一般方程
(1)圆的一般方程的定义：当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程．
(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形：
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方程
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条件
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方程的解的情况
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图形
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D2＋E2－4F<0
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没有实数解
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不表示任何图形
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D2＋E2－4F＝0
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只有一个实数解
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表示一个点
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x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
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D2＋E2－4F>0
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无数个解
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表示以为圆心，以 为半径的圆
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思考：若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？
提示：若方程表示圆，则应满足三个条件：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0.
1．圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标及半径分别为( )
A．(2,0)，5 B．(2,0)，
C．(0,2)， D．(2,2)，5
B [x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，
∴圆心为(2,0)，半径r＝.]
2．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是________．
[若方程x2＋y2－2x＋y＋k＝0表示圆，则(－2)2＋12－4k>0.
∴k<.]
3．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
3 [圆心(1,2)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为＝3.]
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二元二次方程与圆的关系
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【例1】 判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径；若不能，请说明理由．
[解] 法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，
可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，原方程表示圆的方程，
此时，圆的圆心为(2m，－m)，
半径为r＝＝|m－2|.
法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，表示圆的方程，
此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|.
