§4 数据的数字特征
4．1 平均数、中位数、众数、极差、方差
4．2 标准差
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.会求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差．(重点)
2．方差、标准差在实际问题中的应用．(难点)
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1.通过求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差，培养数学运算素养．
2．通过方差、标准差在实际问题中的应用，提升数据分析素养.
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一、平均数、中位数、众数
1．众数的定义
一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．
2．中位数的定义及求法
把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．
3．平均数的定义
如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝，叫作这n个数的平均数．
二、极差、方差、标准差
1．标准差、方差
(1)标准差的求法：
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．
s＝.
(2)方差的求法：
标准差的平方s2叫作方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本均值．
(3)方差的简化计算公式：
s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]
＝(x＋x＋…＋x)－2.
2．极差
一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差．
3．数字特征的意义
平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．
思考：一组数据的众数可以有多个吗？中位数是否也有相同的结论？
[提示] 一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，但中位数有且只有一个．
1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数，中位数和众数的大小关系是( )
A．平均数＞中位数＞众数
B．平均数＜中位数＜众数
C．中位数＜众数＜平均数
D．众数＝中位数＝平均数
D [可得该组数据的平均数、中位数和众数均为50.]
2．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( )
A. B.
C. D．2
D [∵样本的平均数为1，即×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1，∴样本方差s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.]
