1.3 算法案例
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．会用辗转相除法与更相减损术求两数的最大公约数．(重点、易混点)
2．会用秦九韶算法求多项式的值．(重点)
3．会在不同进位制间进行相互转化．(难点)
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1．通过古代传统算法，培养数学运算素养．
2．借助算法案例，提升逻辑推理素养.
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1．辗转相除法与更相减损术
(1)辗转相除法
①辗转相除法是用于求两个正整数的最大公约数的一种算法，这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．
②所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数．若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数．
(2)更相减损术
更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两数最大公约数的方法．其基本过程是：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
2．秦九韶算法
把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：f(x)＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝vn－1x＋a0，这种求n次多项式f(x)的值的方法叫秦九韶算法．
3．进位制
(1)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“满k进一”就是k进制，k进制的基数是 k.
(2)将k进制数化为十进制数的方法是：先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果．
(3)将十进制数化为k进制数方法是：除k取余法．即用k连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后把各步得到的余数倒排写出．就是相应的k进制数．
1．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16－12＝4,12－4＝8,8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公约数是( )
A．4 B．12
C．16 D．8
A [根据更相减损术的方法判断．]
2．下列有可能是4进制数的是( )
A．5123 B．6542
C．3103 D．4312
C [4进制中逢4进1，
每位上的数字一定小于4.]
3．已知多项式f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求f(－2)等于( )
A．－ B．
C． D．－
A [∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，
∴f(－2)＝－.]
4．利用辗转相除法求3 869与6 497的最大公约数时，第二步是________
3 869＝2 628×1＋1 241 [第一步应为6 497＝3 869×1＋2 628；
第二步应为3 869＝2 628×1＋1 241.]
