4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解正弦函数、余弦函数的基本性质．
2．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点)
3．掌握诱导公式及其应用．(重点)
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1.通过借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式，提升逻辑推理素养．
2．通过诱导公式的应用，提升数学运算素养．
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1．正弦函数、余弦函数的基本性质
从单位圆看出正弦函数y＝sin x有以下性质
(1)定义域是R；
(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1，1]；
(3)它是周期函数，其周期是2kπ(k∈Z)；
(4)在[0，2π]上的单调性为：在上是单调递增；在上是单调递减；在上是单调递增．
同样，从单位圆也可看出余弦函数y＝cos x的性质．
思考1：正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？
[提示] 设任意角x的终边与单位圆交于点P(cos x，sin x)，当自变量x变化时，点P的横坐标是cos x，|cos x|≤1，纵坐标是sin x，|sin x|≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.
2．诱导公式的推导
(1)诱导公式(－α，π±α)的推导
①在直角坐标系中
α与－α角的终边关于x轴对称；
α与π＋α的终边关于原点对称；
α与π－α的终边关于y轴对称．
②公式
sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α；
sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α；
sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α．
(2)诱导公式的推导
①－α的终边与α的终边关于直线y＝x对称．
②公式
sin ＝cos α，cos ＝sin α
用－α代替α并用前面公式
sin ＝cos α，cos ＝－sin α
思考2：设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？
[提示] 它们的对应关系如表：
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相关角
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终边之间的对应关系
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2kπ＋α与α
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终边相同
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π＋α与α
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关于原点对称
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－α与α
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关于x轴对称
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2π－α与α
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关于x轴对称
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π－α与α
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关于y轴对称
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1．当α∈R时，下列各式恒成立的是( )
A.sin ＝－cos α
B.sin (π－α)＝－sin α
C.cos (210°＋α)＝cos (30°＋α)
D.cos (－α－β)＝cos (α＋β)
D [由诱导公式知D正确．]
2．cos 300°＋sin 450°的值是( )
A.－1＋ B．
C.－1－ D．
D [原式＝cos (360°－60°)＋sin (360°＋90°)
＝cos (－60°)＋sin 90°＝cos 60°＋1＝.]
