第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
|
学 习 目 标
|
核 心 素 养
|
|
1.掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法．(重点)
2．理解函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称性．(难点)
|
1.通过求函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质及最值，体会数学运算素养．
2．通过理解函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称性，体会直观想象素养．
|
函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
|
定义域
|
R
|
|
值域
|
[－A，A]
|
|
周期
|
T＝
|
|
奇偶性
|
φ＝kπ，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)是奇函数，φ＝kπ＋，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)是偶函数
|
|
对称轴方程
|
由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得
|
|
对称中心
|
由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得
|
|
单调性
|
递增区间由
2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得；
递减区间由
2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得
|
思考：求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间应注意什么？
[提示] 对于y＝A sin (ωx＋φ)的单调性而言，A与ω的正负影响单调性，如果ω<0，可以利用诱导公式sin (－α)＝－sin α将负号转化到函数符号外，再求相应单调区间．
1．函数y＝2sin ＋1的最大值是( )
A.1 B．2 C．3 D．4
C [当2x＋＝2kπ＋时，即x＝kπ＋(k∈Z)时最大值为3.]
2．函数y＝sin 的最小正周期是( )
A. B．π C．2π D．4π
B [由T＝＝＝π.故选B.]
3．在下列区间中，使y＝sin x为增函数的是( )
A.[0，π] B．
C. D．[π，2π]
C [因为函数y＝sin x的单调递增区间是，k∈Z，故当k＝0时，即为，故选C.]
4．函数f(x)＝sin 的图像的对称轴方程是_________．
x＝kπ＋，k∈Z [由x－＝kπ＋解得x＝kπ＋，k∈Z.]
|
函数y＝A sin (ωx＋φ)的最值问题
|
【例1】 求下列函数的最大值、最小值，以及取得最大值、最小值时相应x的集合．
(1)y＝－3sin 2x；
(2)f(x)＝2sin －3(ω＞0)，最小正周期是π.
[解] (1)函数y＝－3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3.
令z＝2x，使函数y＝－3sin z，z∈R取得最大值的z的集合是，则2x＝－＋2kπ，解得x＝－＋kπ，k∈Z.
