§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解振幅、初相、相位、频率等有关概念，会用“五点法”画出函数y＝A sin (ωx＋φ)的图像．
2．理解并掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)图像的平移与伸缩变换．(重点)
3．掌握A，ω，φ对图像形状的影响．(难点)
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1.通过用“五点法”画出函数y＝A sin (ωx＋φ)的图像，体会直观想象素养．
2．通过学习函数y＝A sin (ωx＋φ)的图像的平移与伸缩变换，体会数学抽象素养．
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1．参数A，φ，ω，b的作用(其中A>0，ω>0)
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参数
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作用
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A，b
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A和b决定了该函数的值域和振幅，通常称A为振幅，值域为[－A＋b，A＋b]
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φ
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φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相
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ω
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ω决定了函数的周期，其计算方式为T＝，周期的倒数f＝＝为频率
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思考1：函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的周期分别是什么？当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？
[提示] 2π，π，4π.
当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的，y＝sin x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍．
2．平移变换
(1)左右平移(相位变换)：对于函数y＝sin (x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．
(2)上下平移：对于函数y＝sin x＋b的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平行移动|b|个单位长度得到的．
思考2：如何由y＝f(x)的图像变换得到y＝f(x＋a)的图像？
[提示] 向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位．
3．伸缩变换
(1)振幅变换：对于函数y＝A sin x(A＞0，A≠1)的图像可以看作是把y＝sin x的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的．
(2)周期变换：对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
思考3：对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝sin x的函数值有何关系？
[提示] 对于同一个x，y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝sin x的函数值是y＝sin x的函数值的.
1．函数y＝2sin 的周期、振幅依次是( )
A．4π，－2 B．4π，2
C．π，2 D．π，－2
[答案] B
2．关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
C [法一：f(－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当＜x＜π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]的图像如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.
