第1课 立体几何初步
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
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由三视图求几何体的表面积与体积
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【例1】 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )
A．1 B. C. D．2
C [根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥VABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝，在Rt△VBD中，VD＝＝.]
1．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理．
3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
1．一个几何体的三视图如图所示，其中左视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是________．
8π [由三视图知该几何体是半径为2的球被截去四分之一后剩下的几何体，则该几何体的体积V＝×π×23×＝8π.]
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c
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【例2】 如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
[解] (1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.连接A1B，交
AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又因为OD1
平面AB1D1，BC1
平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，得BC1∥D1O，所以＝，又由题可知＝，＝1，所以＝1，即＝1.
