7．2 柱、锥、台的体积
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式．(重点)
2.熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积．(难点)
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1.通过柱、锥、台的体积公式的学习提升直观想象素养.
2.通过运用体积公式求多面体、旋转体的体积，提升数学运算素养.
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柱、锥、台的体积
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几何体
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体积
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说明
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柱体
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V柱体＝Sh
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S为柱体的底面积，h为柱体的高
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锥体
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V锥体＝Sh
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S为锥体的底面积，h为锥体的高
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台体
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V台体＝(S上＋＋S下)·h
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S上， S下分别为台体的上、下底面积，h为高
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思考：根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？
提示：台体的体积公式为V台体＝(S′＋＋S)h.当S′＝S时，得柱体的体积公式V柱体＝Sh；当S′＝0时，得锥体的体积公式V锥体＝Sh.
1．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )
A.π B．2π
C.π D.π
D [由已知，圆台上、下底面半径分别为1和2，又S圆台侧＝π(1＋2)l＝6π，∴l＝2，
∴高h＝＝，
∴V＝××(12＋22＋1×2)＝π.]
2．直角三角形两直角边AB＝3，AC＝4，以AB为轴旋转一周所得几何体的体积为( )
A．12π B．16π
C．20π D．24π
B [旋转后的几何体为以AC＝4为底面半径，以3为高的圆锥，
V＝πr2h＝π×42×3＝16π.]
3．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a＝________.
[由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a，
则V＝3×＝3，
所以a＝.]
4．高为3的三棱锥PABC底面是边长为1的正三角形，则三棱锥PABC的体积为________．
[由已知三棱锥PABC的底面面积S＝××1＝，
∴VPABC＝××3＝.]
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柱体的体积问题
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【例1】 已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2 cm2,2 cm2，侧棱长为2 cm，求其体积．
[解] 如图所示，设底面菱形的对角线AC，BD长分别为x cm，y cm，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形，
故有解得
底面菱形的面积S＝xy＝(cm2)，
所以该棱柱的体积为V＝Sh＝×2＝(cm3)．
