第1课 排列、组合的综合应用
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[提升层·题型探究]
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组数问题
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【例1】 从1到9的九个数字中取3个偶数、4个奇数，问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？
[思路点拨]
―→―→
[解] (1)分步完成：
第1步在4个偶数中取3个，可有C种情况；
第2步在5个奇数中取4个，可有C种情况；
第3步3个偶数，4个奇数进行排列可有A种情况；
故共有CCA＝100 800个．
(2)上述七位数中，将3个偶数排在一起有A种情况；
故采用捆绑法求得三个偶数在一起的共有CCAA＝14 400种．
1．(变结论)若组成的七位数中任意两个偶数都不相邻，共有多少个？
[解] 上述七位数中，偶数不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档中，即共有：
CACA＝28 800个．
2．(变条件)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个．(用数字作答)
[解] 当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有0，则千位上把剩余数字中任意一个放上即可，方法数是CAC＝72；若选出的三个偶数不含0，则千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是AC＝18，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋18＝90(个)．
当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是0，则再选出两个奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为CAC＝72；若选出的偶数不是0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是CCAC＝162，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋162＝234(个)．
根据分类加法计数原理，可得符合要求的四位数共有90＋234＝324(个)．
组数问题是一类典型的排列组合问题，往往涉及排列特殊数，如奇数，被5整除的数等．需要注意以下几个问题：
①首位数字不为0；
②若所选数字中含有0，则可先排0，即“元素分析法”；
③若排列的是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”；
④此类问题往往需要分类，可依据特殊元素，特殊位置分类．
