1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
|
学 习 目 标
|
核 心 素 养
|
|
1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点)
2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点)
3.理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)
|
1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养.
2.借助二项式系数的性质解题，提升数学运算的素养.
|
1．杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
2．二项式系数的性质
(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C.
(2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数
取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数
与
相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
1．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是( )
A．1 B．－1
C．215 D．315
B [令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1.]
2．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( )
A．第8项 B．第7项
C．第9项 D．第10项
C [由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]
3．在(a＋b)8的展开式中，二项式系数最大的项为________，在(a＋b)9的展开式中，二项式系数最大的项为________________．
70a4b4 126a5b4与126a4b5 [因为(a＋b)8的展开式中有9项，所以中间一项的二项式系数最大，该项为Ca4b4＝70a4b4.
因为(a＋b)9的展开式中有10项，所以中间两项的二项式系数最大，这两项分别为Ca5b4＝126a5b4，Ca4b5＝126a4b5.]
|
|
“杨辉三角”的应用
|
【例1】 如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．
[思路点拨] 由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.
[解] S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274.
